//Problem of the Week # 1: Details and Examples
Problem of the Week # 1: Details and Examples2018-09-20T19:32:09+00:00

Home Forums Problem of the Week Problem of the Week # 1: Details and Examples

Viewing 1 post (of 1 total)
  • Author
    Posts
  • useruser
    Keymaster
    Post count: 1

    A mathematical chess problem is a problem formulated using a chessboard, sometimes of size different from the normal size, normal chess pieces and rules, and of a mathematical nature. For an example consider the following problem:

    Example 1 What is the maximum number of non-attacking rooks that can be placed on an chessboard?

    (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14

    Solution Since only one rook can be placed in a column and there are only 8 columns in a chessboard the maximum number must be less than or equal to 8. The following placing of rooks shows that this maximum can be achieved:

    Therefore the answer is (B).

    Example 2 Let A be the set of points in the plane such that x and y are both positive integers less than or equal to 20 and B be a subset of Asuch that no two points in B are at a distance of . What is the maximum number of elements in B?

    (A)50 (B) 150 (C) 200 (D) 250 (E) 300

    Solution

    This does not look like a mathematical chess problem. But this problem can be made to look like a mathematical chess problem. If we consider a chessboard then two squares that are at a distance of (distance between the centers of the squares) are squares that can be occupied by attacking knights. So the number of elements in B is the maximum number of non-attacking knights on the chessboard. So what is the maximum number of non-attacking knights that can be placed on a chessboard? Since a knight always move from a black square to a white square and vice versa it is clear that knights placed on all white color squares or all black color squares are non-attacking. So 200 non-attacking knights can be placed on the chessboard. Is this the maximum? We can pair all the squares in the chessboard as shown below for 4 squares:

    In this pairing only one knight can be placed in each pair of squares. If two are placed then they attack each other. There are 200 such pairs. So the maximum number of non-attacking knights is less than or equal to 200. So the maximum number of non-attacking knights is 200. Therefore the maximum number of elements in B is 200. Therefore the answer is (C).

    ගණිතමය චෙස් ගැටලුවක් යනු චෙස් පුවරුවකින්, සමහර විට සාමාන්‍ය ප්‍රමාණයට වෙනස්, සාමාන්‍ය චෙස් ඉත්තන් සහ නීති වලින් සැදුන ගණිතමය ස්වභාවයක් ඇති ගටලුවකි. පහත උදාහරණය සලකා බලන්න.

    උදාහරණය 1 චෙස්පුවරුවක් මත තැබිය එකිනෙකාට පහර නොදෙන රුක් ( rook) ඉත්තන් උපරිම උපරිම සංඛ්‍යාව කුමක්ද?

    (A)6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14

    විසඳුම එක් තීරුවකට එකම එක රුක් එකක් පමණක් තැබිය හැකි අතර චෙස්පුවරුවේ තීරු 8 ක් ඇත. එමනිසා උපරිම අගය 8 ට වඩා අඩු හෝ සමාන හෝ විය යුතුය. පහත දැක්වෙන ස්ථානගත කිරීම් මගින් පෙන්නුම් කරන්නේ මෙම උපරිම අගය ලබාගත හැකි බවය.

    එබැවින් පිළිතුර (B).

    උදාහරණය 2 A යනු තලය මත වන (x, y), x සහ y 20ට අඩු හෝ සමාන හෝ ධන හා පූර්ණ අගයන් වන, ලක්ෂ්‍ය කුලකයක් වන අතර, B යනු A හි උපකුලකයක් වන අතර B හි ලක්ෂ්‍ය දෙකක් අතර දුර ක් නොවේ. B හි උපරිම අවයව සංඛ්‍යාව කුමක්ද?

    (A)50 (B) 150 (C) 200 (D) 250 (E) 300

    විසඳුම

    මෙය ගණිතමය චෙස් ගැටළුවක් නොවේ. නමුත් මෙම ගැටලුව ගණිතමය චෙස් ගැටළුවක් ලෙස සකස් කරන්නට පුළුවන. චෙස්පුවරුවක් සැලකූ විට, එහි චතුරශ්‍ර දෙකක් එම චතුරශ්‍රවල කේන්ද්‍ර අතර දුර වන විට එම චතුරශ්‍ර මත ඇති නයිට් (knight) ලා එකිනෙකාට පහර දේ. එබැවින් B හි උපරිම අවයව සංඛ්‍යාව චෙස් පුවරුවේ තැබිය හැකි එකිනෙකාට පහර නොදෙන නයිට්වරුන්ගේ උපරිම සංඛ්‍යාව වේ. එසේනම් චෙස්පුවරුවක් මත තැබිය හැකි එකිනෙකාට පහර නොදෙන නයිට්වරුන්ගේ උපරිම සංඛ්‍යාව කුමක්ද? නයිට් එකක් හැම විටම කළු පැහැති චතුරශ්‍රයේ සිට පැහැති සුදු චතුරශ්‍රයකටත් සුදු පැහැති චතුරශ්‍රයේ සිට පැහැති කළු චතුරශ්‍රයකටත් සිට ගමන් කරන නිසා, පැහැදිළිවම,සියළු සුදු පැහැති චතුරශ්‍ර වල හෝ සියළු කළු පැහැති චතුරශ්‍ර ස්ථානගත කරන ලද නයිට්වරු කිසිසේත් එකිනෙකාට පහර නොදෙන බව පැහැදිලිය. එබැවින් එකිනෙකාට පහර නොදෙන නයිට්වරු 200 ක් චෙස්පුවරුව මත තැබිය හැකිය. මෙය උපරිමයද ? පහත දැක්වෙන පරිදි චෙස් පුවරුවේ සියලු චතුරශ්‍ර යුගල වලට බෙදිය හැකිය:

    මෙම යුගල බෙදීමේදී එක යුගලයක එක නයිට් එකක් පමණක් ස්ථානගත කළ හැකිය. නයිට්ලා දෙකක් ස්ථානගත කල හොත් ඒවා එකිනෙකාට පහර දේ. එවැනි යුගල 200 ක් ඇත. එබැවින් එකිනෙකාට පහර නොදෙන නයිට්වරුන්ගේ උපරිම සංඛ්‍යාව 200 ට අඩු හෝ ඊට සමාන හෝ වේ. ඉහත සදහන් කල ආකාරයට එකිනෙකාට පහර නොදෙන නයිට්වරුන් 200ක් තැබිය හැකි නිසා එකිනෙකාට පහර නොදෙන නයිට්වරුන්ගේ උපරිම සංඛ්‍යාව 200කි. එහෙයින් B හි ඇති උපරිම අවයව සංඛ්‍යාව 200 කි. එබැවින් පිළිතුර (C) වේ.

Viewing 1 post (of 1 total)

You must be logged in to reply to this topic.