/POW #15 Sinhala (View Only)
POW #15 Sinhala (View Only)2019-01-23T09:46:09+05:30

ඔබට මෙහි ගැටලුව දැක ගත හැක​. ඔබ මෙතෙක් පිලිතුර ලබා දී නැත්නම්, පහත සබැඳිය භාවිතා කර පිලිතුර ලබා දෙන්න.

පිලිතුර ලබා දීම

විලියම් පී. තර්ස්ටන් නම් ගණිතඥයා ගණිතය යනු විධිමත් රටා පිළිබඳ න්‍යාය (“the theory of formal patterns”) ලෙස නිර්වචනය කල හැකි බව පවසා ඇත.  ඔහු ගණිතයේ ඉහලම සම්මානය වන (Fields Medal) ෆීල්ඩ්ස් පදක්කම දිනා ගත්තෙකි. ගණිතයට නොබෙල් ත්‍යාගයක් (Nobel Prize) නැත. ඩයිනමයිට් ඇතුලු නව නිපැයුම් රාශියකට පේටන්ට් බලපත්‍ර ලබා ගත් ඇල්ෆ්‍රඩ් නොබෙල් (Alfred Nobel) නම් ස්විස් ජාතික විද්‍යාඥයා තම නව නිපැයුම් වලින් උපාය ගත් මහත් ධනස්කන්දය  නොබෙල් ත්‍යාගයක් පිහිටවීම සඳහා තම අන්තිම කැමති පත්‍රයෙන් පරිත්‍යාග කර ඇත්තේ තම සොහොයුරාගේ මරණය තමාගේ මරණය ලෙස වරදවා තේරුම් ගෙන ප්‍රංශ පුවත් පතක මරණයේ වෙළෙන්දා මිය යයි (“The merchant of death is dead”) යන සිරස් තලයෙන් පල කල පුවතක් දැක ඇති වූ කලකිරීමෙන් බව කියැවේ. ඔහු කුමන හේතුවක් නිසා ගණිතය ඔහුගේ ත්‍යාග පිරිනැමිය යුතු විෂයන් වලට ඇතුලත් කර නැත්තේ ඇයිද යන්න ගැන දැන ගැනීමට කිසිම තොරතුරක් නැති බවක් පෙනේ. කෙසේ නමුත් ඔහුගේ නව නිපැයුම් වලට පාදක වූ රසායන විද්‍යාව ඇතුළු විද්‍යා විෂයන්ට ගණිතය නැතුවම බැරිය. සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක රටාව නිශ්චය කිරීම තර්ස්ටන්ගේ ගණිතයේ නිර්වචනයට අනුව ගණිතයට හොඳ ප්‍රවේශයක් විය යුතුය.

ගැටලුව 1 (SLMC 2004 Q. 25)

සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක, ඕනෑම අනුයාත පද 4 ක ඓක්‍යය 30 වේ. පළමු සහ 12 වන පද පිළිවෙලින් 5 සහ 11 වේ නම්,  100 වැනි පදය වන්නේ,

(A)5        (B)11       (C)14      (D)14      (E)19

විසඳුම

අනුයාත පද යනු පිළිවෙලට ඇති පද වේ. දෙන ලද සංඛ්‍යා අනුක්‍රමය දැක්වීමට වීජීය අංකනය භාවිතා කරමු. a1,a2,a3,…යනු පිළිවෙලින් සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයේ පළමුවන පදය, දෙවන පදය, තුන්වන පදය, …  ලෙස ගන්න. මෙවිට a1=5  ද, a12=11 , 5+a2+a3+a4=30 හා a2+a3+a4+a5=30 මෙලෙස a1=a5=…=5 බව පැහැදිලිය. එනම් සෑම හතරේ ගුණාකාරයකට එකක් එකතු කිරීමෙන් ලැබෙන නිඛිලය වන පදය 5 වේ. මෙම රටාවෙන් 100  වැනි පදය සොයා ගත හැකිද? 100 හතරේ ගුණාකාරයක් වන බැවින් ඉහත රටාවෙන් 100 වන පදය සොයා ගත නොහැක. නමුත්  11+a13+a14+a15=30 , a13+a14+a15+11=30 ; a16=11  මෙලෙස a4=a8=..=11  බව පැහැදිලිය. එනම් සෑම හතරේ ගුණාකාරයක් වන පදය 11 වේ. 100 හතරේ ගුණාකාරයක් වන බැවින් . එම නිසා පිළිතුර (B) වේ. □

 

අප මෙතෙක් සලකා බලන ලද සංඛ්‍යා අනුක්‍රම අපරිමිත සංඛ්‍යා අනුක්‍රම වේ. එනම් මෙම සංඛ්‍යා අනුක්‍රම වලට කෙළවරක් නැත. තවද සංඛ්‍යා ලෙස හැදින්වූයේ තාත්වික සංඛ්‍යා වේ. තාත්වික සංඛ්‍යා ගැන හයවන වසරේ සිසුන් දැන ගත යුතුය.

ගැටලුව 2 (IMO 1977 Q. 2)

පරිමිත තාත්වික සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක ඕනෑම අනුයාත පද 7ක එකතුව ඍන වන අතර ඕනෑම අනුයාත පද  11ක එකතුව ධන වේ. මෙම අනුක්‍රමයට තිබිය හැකි වැඩිම පද ගණන කීයද?

විසඳුම

මෙම ගැටලුව 1977 ජාත්‍යන්තර ගණිත ඔලිම්පියාඩයේ දෙවන ගැටලුව වේ. ජාත්‍යන්තර ගණිත ඔලිම්පියාඩය ගැන හදුන්වාදීමක් පළමු සතියේ ගැටලුව හා පලවුන ලිපියෙන් දෙන ලදි.  මෙම ගැටලුව ගැන ආතර් එංගල්  (Arthur Engel) ගේ ප්‍රසිද්ධ Problem Solving Strategies නම් පොතේ කියා ඇත්තේ මෙය හොඳ ඔලිම්පියාඩ් ගැටලුවක් බවය. හොඳ ඔලිම්පියාඩ් ගැටලුවක් විසඳීමට අවශ්‍ය විය යුත්තේ දක්ෂ කම පමණක් බවත් කිසිම පූර්ව දැනුමක් අවශ්‍ය නොවිය යුතු බවත් ඔහු කියයි. මෙම ගැටලුව එවන් ගැටලුවක් බව ඔහු කියයි. දෙන ලද සංඛ්‍යා අනුක්‍රමය දැක්වීමට වීජීය අංකනය භාවිතා කරමු. x1,x2,x3… යනු පිළිවෙලින් සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයේ පළමුවන පදය, දෙවන පදය, තුන්වන පදය, …  ලෙස ගනිමු. දැන් අපි අනුයාත පද හතේ එකතු පිළිවෙලින් පහත ආකාරයට ලියමු.

පලවෙනි පේලි එකොළහ පමණක් සැලකුවොත් ඔබට කුමක් කිව හැකිද? ඔබට විසංවාදයක් (contradiction) දැකිය හැකිද? ඔබට විසංවාදයක් දැකිය හැකි නම් මෙම අනුක්‍රමයට පද 17ක් තිබිය නොහැක. මෙම ගැටලුව සම්පුර්ණයෙන්ම විසඳීමට දක්ෂ හය වන වසරේ සිසුවෙකුට හැකිය.

 

සතියේ ගැටලුව

ධන නිඛිල සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක, ඕනෑම අනුයාත පද  4ක ඓක්‍යය 30  වේ. පළමු සහ 12  වන පද පිළිවෙලින් 5 සහ  11 වේ. එවැනි එකෙනෙකට වෙනස්  සංඛ්‍යා අනුක්‍රම ගණන කීයද?

(A)1                          (B)2                            (C) 4                                                (D)13                         (E)26

 

RSS
Facebook
Facebook